|
Respira
dimostrazioni chromatiche al pianoforte (2019) Abbreviazioni:
12ET temperamento equabile; T numeri triangolari; Q
numeri quadrati; P numeri pentagonali; PN numeri
pentagonali con indice negativo; E esagonali; EN idem
con indice negativo. Il pezzo mostra un incontro tra uno
strumento temperato, il pianoforte, e la sequenza dei numeri pentagonali
generalizzati. Sequenze di numeri interi possono
essere pertinentemente interpretati come figure musicali,
nuove o antiche, nostalgiche o inedite, ma comunque
coerenti: qui il focus è sulla suddetta sequenza,
nello sfondo dell’insieme dei numeri figurati, uno dei
grandi temi di ricerca matematica fin dai tempi dei Greci,
interpretati algebricamente
secondo la formula generale: (n(n(p
- 2) –p +4))/2. Capostipite di questa formula è
la sequenza dei numeri triangolari, per me particolarmente
prolifica: dapprima esplorata nella tabella pitagorica,
come struttura di intervalli naturali, nella seconda
sezione di
Matrice/organon (1994-95), poi come serie di
semitoni (12ET) nel finale di Presto sarà
adagio (1999), ed ancora estensivamente, insieme ai
quadrati, in tutto Cori
d’ogni distanza/attrazione (2014-15), infine
applicati ai quarti di tono (24ET) in Apparati di
sordità (2015). Le sequenze triangolari in 12ET hanno
un sapore ottofonico: sono difettive di 4 suoni. Parlando
in semitoni, una settima diminuita manca, un’altra
è rappresentata due volte, dopodichè la
sequenza torna indietro, non considerando l’allargamento
ad ottave superiori). La sequenza dei quadrati ha ancora
meno colori della scala cromatica: ne contiene solo 4, e
si comporta in modo simile in qualsiasi ET. All’opposto,
la sequenza dei numeri pentagonali in 12ET è assai
più variamente colorata (o meglio è bianca,
usando l’analogia con la luce o il rumore); contiene il
totale cromatico, ma non al modo dodecafonico,
bensì si replica dopo 24 suoni, dopo aver toccato 2
volte ogni nota, non considerando i registri d’ottava. Un comportamento simile si ha
nei triangolari SOLO negli ambiti (attraverso operazione
di congruenze) di potenze di 2 (detti perciò
numeri scortesi), come esplorato nella pag. 27 di Cori d’ogni
distanza/attrazione. L’esplorazione delle
congruenze, ma beninteso dei numeri pentagonali,
costituisce pure il finale della
presente composizione. L’estensione algebrica della
formula permette di andare oltre i casi apparentemente
minimi di figure a 3 lati e di lunghezza di lato 1 o 0:
andando agli interi negativi si ottiene una più
ampia matrice, e dai pentagonali in su anche elementi
nuovi che meglio illustrano le proprietà della
sequenza (estendere P ad
esempio già dalla prima pagina del pezzo comporta
che le voci estreme si possano incrociare e andare sotto
lo zero a mostrare il fondamentale complemento PN).
Inoltre, in E, andare oltre lo 0 permette di completare
questa notevolissima sequenza con i valori mancanti di
T. Inizio: Come costruire sequenze di
numeri figurati con sole 3 voci, un pedale centrale e
scale di un solo intervallo. Abbiamo triadi su segmenti di
sequenze pentagonali, su voce centrale ostinata (Re
centrale). Si evidenziano così le differenze tra un
pentagonale e il precedente, sempre crescente di 3 (in
semitoni, terza minore). Andando a PN, voci acute e gravi
si incrociano, dando origine a una seconda sequenza,
armonicamente analoga. Quarto sistema: la voce centrale
può anch’essa scendere di terza min., a Si,
ottenendo così la triade invertita. Quinto sistema,
terza mis.: su Mi bem centrale costruisco con semitoni e
toni discendenti la sequenza triangolare in triadi, e da
Mi bem. sovracuto parallelamente la stessa seq. T ma
melodica. Quindi allo stesso modo seq. dei
quadrati Q, e finalmente (inizio pag.2) PN e P (terza
mis.). A questo punto, invece di pedali Re o Mi bem.,
costruisco su una voce centrale che scende cromaticamente.
Impossibile non pensare al corale bachiano Ewigkeit du
Donnerwort base del Violinkonzerte di Berg. Da ultima mis.
2° sist.: E, poi eptagonali e ottagonali,
anche invertiti, poi su voce centrale discendente
cromaticamente. Pag. 3 inizio ostinato-variazioni su
sequenza triangolare (‘T’) da Do acuto: - Tx+T(x-1)= Qx (un semitono, due toni,
3 terze min., 4 terze magg…), quindi attorno al do acuto,
due sequenze T in ordine opposto e sfasate di uno danno i
quadrati Q. - 2Tn+(n+1)=Qx (a 4 voci: intervallo
esterno=Qx, interni Tx, T(x+1), Tx: ogni passo contiene il
germe del passo successivo) - esplode T melodica, verso estremo
acuto (0-36) e risponde Q dall’estremo grave: 49, 36…0) - primo saggio di Matrice: voce acuta: T a
ritroso: 36, 28…0
voce centrale: Lineare cromatica
voce grave: T inversa; le tre voci si distanziano
per intervalli uguali a T (indice-1). La parte simmetrica
dopo lo 0-origine viene riempita da due T accordali. -6/8: presentazione in 3 accordi delle
3 melodie che si sovrappongono dalla mis. successiva: - 3/8
‘quasi Ländler ma fugato’: in orizzontale,
tutti T con opportuni sfasamenti, che in verticale formano
armonie P - Px=Qx+T(x-1) Pag. 4: su T superius
ostinato, altra esposizione di Px=Qx+T(x-1), dove Q
è ottenuto anche con due T interlacciati (dove
inizia uno finisce l’altro, stesso intervallo centrale);
inoltre si ottiene la seguente germinazione: Qx+T(x-1)=
Px
e
Qx+T(x+1)=PNx 1+0= 1
1+1= 2 4+1= 5
4+3= 7 9+3= 12
9+6= 15 16+6=
22
16+10=26 Su ostinato, basso ‘chopiniano’ a gradi
disgiunti: armonia Q, confronto T e TNeg. 4/4 lento pp: T+Q (superius
ostinato+ voce inferiore) =P alternato a PN:
0,1,2,5,7,121,15,22,26, ossia pentagonali generalizzati. Lo stesso, double in forma
più esplicita o fiorita con i gradi interni. Nuova variazione armonizzata sempre in
modo simile su P, ma esposto separando l’armonia in voci
pari e dispari, che su 12ET sono solo quarte e settime
maggiori, e in PN i loro rivolti quinte e none minori, che
per curiosa combinazione sono intervalli storicamente
definiti e apparentati. Ancora un segnale della pertinenza
di usare questa sequenza così ricca di colori. (A
margine, notiamo relazioni con altri mondi cromatici:
esattamente nelle 4 note m.d. ultima misura, coincidenti
con il quadrato magico di Dürer
messo in musica nel mio Melencolia generosa I e II.) Pag. 5, ‘leggero, alla caccia’, data la
somiglianza tra armonie P, PN e le ‘quinte dei corni’, in
un tratto della loro estensione. E’ sempre una variazione
dove può risaltare il superius
ostinato. Gli aggregati
sono ottenuti trattando le sue note come zeri di
sequenze pentagonali generalizzate, che si spiegano
sotto di esso come accordi. Si ottengono relazioni
polifoniche anch’esse di numeri triangolari, oppure
secondo un’altra lettura, di numeri proni alternati a
quadrati. 6/8, di nuovo ‘quasi Ländler
ma fugato’, le voci sono 2T (numeri proni o oblunghi
n*[n+1]), le armonie P a intervalli a saltare, quindi come
prima solo quarte e settime maggiori. 3/4, comincia ad esporre EN, numeri
esagonali. Essi sono gli unici che replicano direttamente
T, con gli indici a saltare, pari e dispari attorno
all’origine. Ciò è sfruttato nella
contemplativa serie di variazioni successive (sempre con
il superius
ostinato ma trasposto un’ottava sotto, dal Do centrale).
Si veda in particolare pag.5 ultimo sistema: la
sovrapposizione di E (m.d) e T (m.sin.) genera intervalli
verticali o armonie P! 21-6=15
10-3=7
3-1=2 0-0=0 1-0=1 6-1=5 15-3=12
28-6=22 Che coerenza, ricchezza e
concentrazione di armonie!! Pag. 6 sul Mi acutissimo, E ed EN, e a
sua volta sul Sol interno (=21), esposizione melodica di E
ed EN, che si incrociano chiasticamente in EN ed E,
reincontrandosi sul Do diesis 15. 2/4, somme di numeri figurati
rappresentate da piccoli arpeggi contigui, separati da
note ribattute, ben distinguibili nel pianoforte. Così le prime misure
mostrano in questo modo il già visto Tx+T(x-1)=
Qx. Terzo sistema, su armonici 3° ped.: T+Q=PN;
conclude in notine l’unione in bicordi di P e PN=(tutti
gli intervalli dalla quinta all’unisono). Segue T+Q=P Pag.7, dalla seconda misura inizia una
sezione più intima e cullante, che parte dal
piccolo pattern E di pag.5, un’ottava sotto al grande
superius ostinato di pag.3-6. La sequenza continua con una
generalizzazione di tale tratto di 8 note (da -3 a 4) su
tutte le sequenze di numeri figurati (si veda la Tabella).
Al centro avremo il semitono 0-1, ai margini una quinta
(essendo tale la relazione tra il num.4 e il -3, in
qualsivoglia numero figurato), e altre relazioni
coerentemente variate. Così si percorrono le varie
famiglie: P, P un tritono sotto, poi al secondo rigo lato
11, 13, 15, 9, 7, 4 o Q, terzo rigo di nuovo 6 o E, 10, 8
due volte, 5, 12 due volte, 11 retrogradata (ponte
cromatico). L’ordine scelto è appunto quello del
contenuto armonico: gli ottofonici, con ritornello i
tetrafonici e i cromatici come ponti di giunzione. I righi quarto e quinto presentano una
progressione poco diversa: si tiene fisso non il semitono
centrale ma una cullante
e soporifera terza minore discendente
(corrispondente agli n 2 e -1), creando agli estremi acuti
sempre delle quinte ma in progressione. Una memoria del
pattern iniziale E e del ponte cromatico suscitano un
ricordo delle terze minori sulle triadi
originai-rivoltate, nelle ultime due misure della pagina
(si confronti con prima pag. quarto rigo). Pag. 8, come pag.6 inizio con E,
evidenzia con due voci le relazioni di ottava tra tratti
delle stesse sequenze P. Quindi miss. 4 e 5, relazioni
ottava o tritono tra P e la sequenza simmetrica di lato -1
(primo rigo della Tabella). E così via altre
relazioni abbastanza trasparenti, le due mani variano le
figure, l’armonia e si incontrano attorno al semitono
centrale. Molto lento, quinto rigo: ancora da una
tripla ottava vuota, un calmo 3/4 a tre voci espone una
rete di tre sequenze gentilmente sovrapposte: al centro
quella cromatica (lato p=2), agli estremi le speculari T
(lato p=3) e T invertita (lato p=1). L’esposizione parte
da 36 e decresce oltrepassando lo 0, oltre il
quale riecheggiano simmetricamente le memorie ppp delle
armonie precedenti, fino alle ottave vuote (pag.9 inizio).
Similmente nella sequenza del primo rigo, attorno
all’altro punto di simmetria di T (cioè tra n=11 e
12). Seguono altre realizzazioni musicali delle precedenti
relazioni; finché all’ultimo rigo miss. 1 e 2 si
ribadisce con 4 voci: le estreme su T, una fissa su do=0,
l’altra discendente cromaticamente, le armonie ottenute
sono tutte T: 1,3,6,10,15,21. Ultima misura, in 15/16 un canone su armonie P
(triadi in eco), e imitazione a -24= due ottave sotto e a
distanza temporale di 17/16. Perché ? Pag. 10, dalla quarta misura, lo stesso
sciolto in double
fiorito, con tratti melodici di 4 suoni più echi di
3. Consideriamo i gruppi di 4 suoni: seguendo il primo
suono di ogni quartina ritroviamo P, ma anche seguendo
ogni secondo suono, ogni terzo e ogni quarto: abbiamo in
ogni voce una diversa trasposizione di P, in magica ricca
e coerentissima sinfonia. P nell’armonia e nella polifonia
orizzontale a 4 voci! Metà terzo rigo, armonie PN e P,
trasposte non come all’inizio su un pedale centrale, ma su
una voce centrale discendente a toni interi, di
conseguenza le altre voci si muovono per semitoni e
quarte, incrociandosi attorno allo 0. Segue (quarto rigo
terza mis.) altra lettura di P come aggregato di n quarte
sotto il Do centrale, più sopra PN; la risultante P
viene suggerita come eco p dell’irruente PN . Infatti n*5+PN(n-1)=P(n) Ossia come esposto: 0*5+1=+1 ; 1*5+0=5
; 2*5+2=12 ; 3*5+7=22 ; 4*5+15=35 ; 5*5+26=51; 6*5+40=70. Segue altro ostinato all’estremo acuto,
due mordenti di semitono e tono, 010 e 020. Da dove
originano? La seguente sequenza di 3 gruppi di 4
sedicesimi lo può spiegare. La base è la
sequenza che cresce a ‘dente di sega’ 0,0,1, 0,1,2, 1,2,3,
2,3,4… Sommando triplette di intervalli, spostandosi ogni
volta di un posto abbiamo tre classi: crescente=T
‘convessa’=P
‘concava’=PN -1+0+1=0
0+1+0=1
1+0+1=2 0+1+2=3
1+2+1
=5
2+1+2=7
ecc. Trasponendo lungo la stessa serie si
ottiene la cascata di sedicesimi, molto pianistica, in cui
ogni quartina parte dagli ultimi tre sedicesimi della
quartina precedente. A pag. 11 si tolgono i mordenti acuti
e degli accordi a 4 voci evidenziano un’altra
particolarità della stessa successione (ma che
ritorna all’origine acuta in modo retrogrado): che
cioè si possa sintetizzare l’armonia con 2 note
permanenti (legame armonico) alternate a 2 nuove. Raggiunto di nuovo il Mi sovracuto, al
terzo rigo terza misura inizia subito un nuovo capitolo
dell’elaborazione, quello dei moduli o congruenze,
anche diversi da quelli di 12 sottintesi a certe
necessarie limitazioni d’ottava finora incontrate. Tutte
le congruenze delle sequenze di numeri figurati sono
periodiche: vedi nella Tabella la voce periodo. Alla voce superiore, ff molto,
abbiamo P modulo 4, subito sotto modulo 8, la voce inferiore aggiunge P
senza rivolti o moduli (essendo modulo 8, l’armonia
è di triadi aumentate o ET3=ET12/4). Con la destra ostinata, la sinistra
aggiunge P modulo 16. Un modulo 5 + P originale rompe la
simmetria binaria o pari e conduce al Poco meno, che
confronta altri moduli dispari: il 7, il 9, l’11, il 13,
il 15, 17, 19, 29. Sono degli assoli con o senza glosse o
echi deformati dei moduli precedenti, che evidenziano il
dispiegarsi sempre più chiaro di figure ricorrenti:
i tronconi iniziali di P e PN, un’ascesa 3n con nota
ribattuta, tutto con due punti di simmetria retrograda. A cavallo tra pag. 11 e 12 comincia un
approfondimento della bellissima configurazione ottenuta
da P modulo 6, che merita perlomeno queste misure. 6
è il primo composto di due primi distinti, e
innumerevoli compositori sfruttano tale sua
poliedricità basilare, per esempio a livello
ritmico con l’emiola. Anche qui la prima metà
presenta due terzine con la testa di P, seguite da tre
duine di ascesa cromatica (ma in realtà entrambe
nascono dallo stesso rivolto di tritono). Dapprima
scompongo le 12 note del modulo 6 tra due voci, ottava
sopra e sotto a quella della misura iniziale: sono
cromaticamente complementari. Quindi sovrappongo le prime
6 note alle ultime 6: armonia di terze minori e multipli o
ET4, nel senso che le melodie, seppur cromatiche, si
incontrano in contrappunto nota contro nota solo su
unisono, 3e min., tritono e 6° magg., e repliche di
ottava. Le due misure successive presentano un canone al
tritono: ancora complemento cromatico, e ancora armonia
ET4 o esclusivamente con 3e min., tritono e 6° magg.
Irrompe a sorpresa all’acuto P modulo 12, con le sue
chiare progressioni di 4 note, accompagnato da modulo 3
con effetto poliritmico ma stesso colore armonico ET4. Dal
terzo rigo si estende l’indagine sui moduli multipli di 3:
dapprima il prodigioso modulo 9, cromatico e scomponibile
in 3 terzine in progressione di 3e min., poi alla destra
modulo 15, con 3 progressioni di 5 (quarte), e ancora 21
(3 di 7 o quinte), il lungo 18 (36 note, essendo pari) che
richiama per analogia i sottomultipli 6 e 9, infine il
modulo 27, che conduce al climax ritmico, in cui
l’avanzamento di 4 note (biscrome) è analogo
all’avanzamento di 1 (entrambi sono 3n+1). Infatti
l’armonia di TUTTA la pagina è un dolce ET4, che
rinasce dalle ceneri del contrappunto adottando similmente
4 soli incontri verticali possibili: unisono, 3e min.,
tritono e 6° magg., e repliche di ottava. Pag. 13, come all’inizio ancora
tricordi, che avanzano leggendo il già ostinato P
modulo 9: ogni accordo ha 2 suoni in comune con il
precedente, e uno nuovo: gli armonici selezionati scartano
il suono più vecchio. Tutto diviso a ottave
alternate, quindi dopo 9 accordi il risultato risulta
ripetuto con le mani scambiate, e viene ulteriormente
sviluppato con rivolti verso l’acuto e poi precipitando al
grave. (Nota che qui il rivolto è coerentemente
applicato al modulo 9 e non 12, secondo tale linguaggio
gli accordi sono teoricamente solo 3, ma dall’interazione
con ET12 si ha un’ulteriore ricchezza cromatica). Terzo rigo, alla sin. P modulo 9
ostinato, più P originale (di nuovo 0= mi
sovracuto): armonia come prima ET4. Da qui è
naturale passare al primo modulo esposto, l’8, sempre
più P originale: riepilogo prima di tuffarsi nel
flusso ininterrotto finale, una lettura di TUTTI i moduli
dal 2 al 39. Le congruenze di modulo pari sono di
periodo 2n (quindi multiple di 4), ed espongono il totale
cromatico interno al modulo; esse sono esposte dalla mano
destra. Le congruenze dispari sono di periodo
n, sono esposte invertite dalla mano sinistra e ripetute
due volte, la seconda in perfetto incastro con la mano
destra (essendo due dispari successivi multipli di 4 come
il ciclo di modulo pari compreso tra essi: infatti
(2n-1)+(2n+1)= 2*2n. P.es. nel caso di 3,4,5: 3+5=(due
volte 4). Esse sono diversamente ‘colorate’, non hanno il
totale cromatico a meno che non siano multiple di 3. Se
sono multiple di 3, anche pari, non vi sono note
ribattute. Diversamente si crea un motivo retrogrado con
intervalli 3x. In tutte si riconoscono spezzoni di P,
e non solo ovviamente all’inizio quando l’operazione
modulo lascia la serie inalterata. Si può
considerare tale esplorazione dei moduli un’esplosione
cubista di P. I rapporti tra mano destra e sinistra
diventano via via più chiaramente quasi simmetrici.
Alla fine si intromettono le sequenze iniziali in
retrogrado, ritornando all’origine. Giovanni Damiani |
|